Distribución de Poisson

La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que modela el número de eventos que ocurren en un intervalo fijo de tiempo o espacio, bajo la suposición de que estos eventos ocurren con una tasa promedio constante y de manera independiente entre sí.

Definición

Sea ( X ) una variable aleatoria que sigue una distribución de Poisson con parámetro λ, denotado como:

$$X\sim \text{Poisson}(\lambda )$$

Su función de masa de probabilidad (PMF) está dada por:

$$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!},k=0,1,2,\dots$$

donde:

• λ > 0 es el parámetro de la distribución, que representa la media y la varianza.
• ( e ) es la base del logaritmo natural, aproximadamente 2.718.
• ( k! ) es el factorial de ( k ).

Propiedades

1. Esperanza y varianza:

   $$\mathbb{E}[X]=\lambda ,\text{Var}(X)=\lambda$$

2. Función generadora de momentos (MGF):

   $$M_X(t)=\exp (\lambda (e^t-1))$$

3. Función característica:

   $${\varphi }_X(t)=\exp (\lambda (e^{it}-1))$$

4. Suma de variables de Poisson: Si ( X_1 \sim \text{Poisson}(\lambda_1) ) y ( X_2 \sim \text{Poisson}(\lambda_2) ) son independientes, entonces su suma también sigue una distribución de Poisson:

   $$X_1+X_2\sim \text{Poisson}({\lambda }_1+{\lambda }_2)$$

Aplicaciones

La distribución de Poisson es útil en situaciones donde los eventos ocurren aleatoriamente en un intervalo de tiempo o espacio, como por ejemplo:

• Número de llamadas a un centro de atención en una hora.
• Número de errores tipográficos en una página impresa.
• Número de llegadas de clientes a una tienda por minuto.

Relación con otras distribuciones

• Aproximación de Poisson a la binomial: Si:

  $$X\sim \text{Bin}(n,p)$$

  con ( n ) grande y ( p ) pequeño, entonces:

  $$X\approx \text{Poisson}(\lambda ),\text{donde }\lambda =np$$

• Relación con la distribución exponencial: Si el número de eventos en un intervalo de tiempo sigue una distribución de Poisson con tasa λ, entonces el tiempo entre eventos sigue una distribución exponencial con parámetro λ:

  $$T\sim \text{Exp}(\lambda )$$

Recursos Adicionales