Distribución Normal

La distribución normal es una de las distribuciones de probabilidad más importantes en estadística y probabilidad. Se utiliza en una gran variedad de campos debido a sus propiedades matemáticas y a su aplicabilidad en situaciones del mundo real.

Definición

La distribución normal es una distribución de probabilidad continua definida por la siguiente función de densidad de probabilidad (PDF):

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

donde:

• μ es la media de la distribución.
• σ es la desviación estándar.
• σ² es la varianza.
• e es la base del logaritmo natural.
• π es la constante pi.

Propiedades

1. Forma de campana: La distribución normal tiene una forma simétrica de campana alrededor de la media μ.
2. Simetría: La distribución es perfectamente simétrica en torno a su media.
3. Media, mediana y moda: En una distribución normal, la media, la mediana y la moda son iguales.
4. Regla empírica (68-95-99.7): Aproximadamente:
   • El 68% de los valores se encuentran dentro de una desviación estándar de la media.
   • El 95% de los valores están dentro de dos desviaciones estándar.
   • El 99.7% de los valores están dentro de tres desviaciones estándar.

Distribución Normal Estándar

La distribución normal estándar es un caso especial de la distribución normal donde la media es 0 y la desviación estándar es 1. Su función de densidad de probabilidad es:

$$f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}$$

donde ( z ) es la variable tipificada definida como:

$$z=\frac{x-\mu }{\sigma }$$

Esta transformación es útil para comparar diferentes distribuciones normales y calcular probabilidades usando la tabla de la distribución normal estándar.

Aplicaciones

La distribución normal se encuentra en muchas áreas de la ciencia y la ingeniería, incluyendo:

• Estadística inferencial: Pruebas de hipótesis y estimaciones de intervalos de confianza.
• Procesos industriales: Control de calidad y análisis de variabilidad en manufactura.
• Finanzas: Modelado de retornos de inversiones.
• Ciencias naturales y sociales: Modelos de distribución de fenómenos naturales y comportamientos humanos.

Ejemplo Práctico

Supongamos que la altura de los adultos en cierta población sigue una distribución normal con una media de 170 cm y una desviación estándar de 10 cm. La probabilidad de que una persona al azar mida menos de 160 cm se puede calcular usando la distribución normal estándar:

$$z=\frac{160-170}{10}=-1$$

Luego, usando una tabla de la distribución normal estándar, encontramos que:

$$P(Z<-1)\approx 0.1587$$

Esto significa que aproximadamente el 15.87% de la población mide menos de 160 cm.

Conclusión

La distribución normal es fundamental en estadística debido a sus propiedades matemáticas y su amplia aplicabilidad. Comprender su función de densidad, propiedades y usos permite un análisis profundo de datos en diversas disciplinas.

Tabla de Distribución Normal

Diapositivas

Tabla Interactiva

Media (µ): Desviación estándar (σ):