Aplicación del Teorema Central del Límite (TCL)

El Teorema Central del Límite (TCL) tiene aplicaciones prácticas en diversas áreas, permitiéndonos aproximar distribuciones discretas (como la Binomial y la Poisson) a una distribución normal cuando se cumplen ciertas condiciones. A continuación, te presento dos ejemplos interesantes de su aplicación.

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Ejemplo 1: Aproximación de la Distribución Binomial a la Normal

Contexto

Imagina que estamos realizando un estudio sobre vulnerabilidad y estrategias frente a eventos adversos en familias colombianas. Contamos con un presupuesto que nos permite seguir a 1200 hogares. Es deseable:

• Tener entre 500 y 550 hogares pobres (para no sobre-representar).
• Usar un muestreo aleatorio simple (M.A.S.).

Supuestos

• La población de Colombia es de aproximadamente 12.5 millones de familias (asumida como infinita).
• Según el diario Portafolio, después de la pandemia, cerca del 42.5 % de los hogares son pobres.

Modelación

1. Definimos una variable indicadora:
   • Xⱼ = 1 si el hogar es pobre.
   • Xⱼ ∼ Ber(0.425).
2. Si X = Σⱼ Xⱼ (desde j=1 hasta 1200) es el número de hogares pobres en la muestra, entonces:
   • X ∼ Binomial(1200, 0.425).

Aplicación del TCL

Aproximamos la distribución de X usando una normal:

$$X\sim N(0.425\cdot n,0.425\cdot (1-0.425)\cdot n)=N(510,293.25).$$

Cálculo de Probabilidad

Queremos calcular la probabilidad de que el número de hogares pobres esté entre 500 y 550:

$$P(500\le X\le 550)=P(\frac{500-510}{\sqrt{293.25}}\le Z\le \frac{550-510}{\sqrt{293.25}})\approx P(-0.584\le Z\le 2.336).$$

Usando tablas de la normal estándar:

$$P(Z\le 2.336)-P(Z\le -0.584)\approx 0.990-0.280=0.710.$$

Esto quiere decir que la probabilidad de tener entre 500 y 550 hogares pobres en la muestra es de 71%

Corrección por Continuidad

Como estamos aproximando una distribución discreta (Binomial) a una continua (Normal), aplicamos una corrección por continuidad:

$$P(500\le X\le 550)\approx P(499.5\le X\le 550.5).$$

Recalculando:

$$P(-0.613\le Z\le 2.365)=P(Z\le 2.365)-P(Z\le -0.613)\approx 0.991-0.270=0.721.$$

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Por la corrección anterior, ahora la probabilidad de encontrar entre 500 y 550 hogares pobres es de 72.1%

Ejemplo 2: Aproximación de la Distribución de Poisson a la Normal

Contexto

Según el diario El Espectador, en el año 2021 hubo 1126 asesinatos en Colombia, un aumento del 8 % respecto al año anterior. Supongamos que el número de muertes anuales sigue una distribución de Poisson.

Modelación

• X: Número de muertes en un año.
• X ∼ Poisson(λ = 1126).

Aplicación del TCL

Como λ = 1126 es grande, aproximamos:

$$X\approx N(\lambda ,\lambda )=N(1126,1126).$$

Cálculo de Probabilidad

Queremos calcular la probabilidad de que en el año 2022 haya más de 1200 homicidios:

$$P(X>1200)=1-P(\frac{X-1126}{\sqrt{1126}}\le \frac{1200-1126}{\sqrt{1126}})\approx 1-P(Z\le 2.205).$$

Usando tablas de la normal estándar:

$$P(Z\le 2.205)\approx 0.986⟹P(X>1200)\approx 1-0.986=0.014.$$

Esto quiere decir que la probabilidad de que ocurran más de 1200 homicidios es de 1.4%

Corrección por Continuidad

En este caso, no es necesaria la corrección por continuidad, ya que la distribución de Poisson se aproxima bien a la normal cuando λ es grande (λ ≥ 10), y la corrección por continuidad es más relevante para distribuciones discretas con valores pequeños. Aquí, λ = 1126 es suficientemente grande para que la aproximación sea precisa sin corrección.

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Ejercicio para el Estudiante

Distribución Hipergeométrica

Supongamos que en una población de 10,000 familias, 4,000 son pobres. Si seleccionamos una muestra de 500 familias sin reemplazo:

1. Define la variable aleatoria X: Número de familias pobres en la muestra.
2. Aproxima X usando una distribución normal.
3. Calcula la probabilidad de que haya entre 200 y 220 familias pobres en la muestra.

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Aplicaciones Históricas del TCL

El Teorema Central del Límite ha sido fundamental en el desarrollo de la estadística y la ciencia de datos. Algunas aplicaciones históricas incluyen:

1. Control de Calidad: En la industria, el TCL se usa para monitorear procesos y detectar desviaciones en la producción.
2. Finanzas: En el análisis de riesgos, el TCL permite modelar el comportamiento de los rendimientos de activos financieros.
3. Ciencias Sociales: En encuestas y estudios poblacionales, el TCL ayuda a generalizar resultados a partir de muestras.

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Conclusión

El Teorema Central del Límite es una herramienta poderosa que nos permite aproximar distribuciones discretas a la normal, simplificando el análisis de datos. Ahora, pasamos a una nueva unidad: Estimación, donde exploraremos cómo usar muestras para hacer inferencias sobre poblaciones. 📊✨