Uniones e Intersecciones

En probabilidad, las uniones e intersecciones permiten describir la relación entre distintos eventos dentro de un espacio muestral. Estas operaciones se basan en los principios de la teoría de conjuntos.

1. Unión de Eventos ($P(A\cup B)$)

La unión de dos eventos ( A ) y ( B ) representa el conjunto de resultados que pertenecen a al menos uno de los eventos. Matemáticamente, se expresa como:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Caso de Eventos Mutuamente Excluyentes

Si los eventos ( A ) y ( B ) son mutuamente excluyentes (es decir, no tienen elementos en común), entonces:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

2. Intersección de Eventos ($P(A\cap B)$)

La intersección de ( A ) y ( B ) representa el conjunto de resultados que pertenecen a ambos eventos simultáneamente. Su probabilidad depende de si los eventos son dependientes o independientes.

a) Eventos Independientes

Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la del otro. En este caso, la probabilidad conjunta se calcula como:

$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$

b) Eventos Dependientes

Si los eventos son dependientes, es necesario ajustar la probabilidad de ( B ) considerando que ( A ) ha ocurrido:

$P(A\cap B)=P(A)\times P(B|A)$

3. Ejemplos de Aplicación

• Juegos de cartas: Probabilidad de obtener dos cartas de la misma pinta.
• Producción industrial: Probabilidad de que dos máquinas fallen simultáneamente.
• Salud pública: Probabilidad de que una persona tenga dos enfermedades a la vez.

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El análisis de uniones e intersecciones es clave en la modelización de eventos aleatorios y en la resolución de problemas probabilísticos.