Contraste para Diferencia de Proporciones

El contraste para diferencia de proporciones es una técnica estadística que nos permite comparar las proporciones de dos poblaciones y determinar si la diferencia entre ellas es estadísticamente significativa. Esto es útil en situaciones donde queremos evaluar si un cambio, tratamiento o intervención tiene un efecto real en la proporción de éxito. Por ejemplo:

• ¿La proporción de personas que prefieren un producto es mayor en una ciudad que en otra?
• ¿La proporción de estudiantes que aprueban un examen es diferente entre dos grupos?

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Condiciones para que el Contraste Funcione

Para que el contraste para diferencia de proporciones sea válido, se deben cumplir ciertas condiciones:

1. Muestras Independientes: Las dos muestras deben ser independientes entre sí. Esto significa que los datos de una muestra no deben influir en los datos de la otra.
2. Tamaño de las Muestras:
   • Las muestras deben ser lo suficientemente grandes para que la distribución de las proporciones muestrales sea aproximadamente normal. Esto se cumple si:
     • n₁p₁ ≥ 10, n₁(1 - p₁) ≥ 10,
     • n₂p₂ ≥ 10, n₂(1 - p₂) ≥ 10, donde n₁ y n₂ son los tamaños de las muestras, y p₁ y p₂ son las proporciones muestrales.

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Ejemplo: Contraste para Diferencia de Proporciones

Supongamos que queremos comparar la proporción de personas que prefieren un producto en dos ciudades diferentes. Tenemos los siguientes datos:

• Ciudad A:
  • Tamaño de la muestra (n₁) = 200.
  • Número de personas que prefieren el producto (x₁) = 120.
  • Proporción muestral (p̂₁) = x₁ / n₁ = 120 / 200 = 0.6.
• Ciudad B:
  • Tamaño de la muestra (n₂) = 150.
  • Número de personas que prefieren el producto (x₂) = 75.
  • Proporción muestral (p̂₂) = x₂ / n₂ = 75 / 150 = 0.5.

Queremos probar si hay una diferencia significativa en la proporción de personas que prefieren el producto entre las dos ciudades, con un nivel de significancia del 5 %.

Paso 1: Plantear las hipótesis

• Hipótesis nula (H₀): p₁ = p₂ (no hay diferencia entre las proporciones).
• Hipótesis alternativa (H₁): p₁ ≠ p₂ (hay diferencia entre las proporciones).

Paso 2: Calcular el estadístico de prueba

Usamos la prueba Z para diferencia de proporciones. El estadístico de prueba (Z) se calcula como:

$$Z=\frac{{\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})\cdot (\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}},$$

donde: p̂ = (x₁ + x₂) / (n₁ + n₂)

(p̂ es el estimador combinado de proporciones; x₁ y x₂ son los éxitos en cada muestra; n₁ y n₂ son los tamaños de las muestras.)

Sustituyendo los valores:

$$\hat{p}=\frac{120+75}{200+150}=\frac{195}{350}\approx 0.557.$$

Ahora, calculamos Z:

$$Z=\frac{0.6-0.5}{\sqrt{0.557\cdot (1-0.557)\cdot (\frac{1}{200}+\frac{1}{150})}}.$$

Simplificando:

$$Z=\frac{0.1}{\sqrt{0.557\cdot 0.443\cdot (0.005+0.00667)}}.$$$$Z=\frac{0.1}{\sqrt{0.557\cdot 0.443\cdot 0.01167}}.$$$$Z=\frac{0.1}{\sqrt{0.00286}}\approx \frac{0.1}{0.0535}\approx 1.87.$$

Paso 3: Determinar el valor crítico

Para un nivel de significancia del 5 % (dos colas), el valor crítico de la distribución normal estándar es ±1.96.

Paso 4: Tomar la decisión

Como |Z| = 1.87 < 1.96, no rechazamos la hipótesis nula. Concluimos que no hay evidencia suficiente para afirmar que existe una diferencia significativa en la proporción de personas que prefieren el producto entre las dos ciudades.

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Chiste Estadístico

¿Qué le dijo la proporción de la Ciudad A a la proporción de la Ciudad B?
"Oye, ¿por qué siempre estás tan abajo? ¡Deberías subir un poco para que podamos encontrarnos en el intervalo de confianza!" 😆

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Resumen

• El contraste para diferencia de proporciones nos permite comparar las proporciones de dos poblaciones y determinar si la diferencia es estadísticamente significativa.
• Las condiciones clave incluyen muestras independientes y un tamaño de muestra adecuado para que la distribución de las proporciones sea aproximadamente normal.
• El contraste se basa en el cálculo de un estadístico de prueba (Z) y la comparación con un valor crítico.
• Esta técnica es fundamental para evaluar el impacto de tratamientos, intervenciones o diferencias entre grupos en términos de proporciones.

Con esta herramienta, puedes tomar decisiones basadas en datos y evaluar si las diferencias observadas en proporciones son reales o simplemente producto del azar. ¡Sigue practicando y dominarás el contraste para diferencia de proporciones en poco tiempo! 📊✨