Probabilidad: Regla de Bayes

La Regla de Bayes es un principio fundamental en probabilidad que permite actualizar nuestras creencias sobre un evento en función de nueva información. Se utiliza para calcular probabilidades condicionales cuando se conocen las probabilidades inversas.

1. Fórmula de la Regla de Bayes

Dada una partición del espacio muestral en eventos mutuamente excluyentes $(B_1,B_2,...,B_n)$, y un evento $A$ con probabilidad positiva, la Regla de Bayes se expresa como:

$P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum _{j=1}^{n}P(A|B_j)P(B_j)}$

Donde:

• $P(B_i|A)$ es la probabilidad de que haya ocurrido $B_i$ dado que se observó $A$.
• $P(A|B_i)$ es la probabilidad de que ocurra $A$ dado que ocurrió $B_i$.
• $P(B_i)$ es la probabilidad previa de $B_i$.
• $\sum _{j=1}^{n}P(A|B_j)P(B_j)$ es la probabilidad total de que ocurra $A$, considerando todas las posibles causas $B_j$.

2. Intuición

La Regla de Bayes permite invertir una probabilidad condicional. Es útil cuando conocemos cómo se comporta $A$ bajo distintas condiciones $B_i$, y queremos inferir qué tan probable es cada una de esas condiciones después de observar $A$.

3. Aplicaciones

• Diagnóstico médico: Determinar la probabilidad de que un paciente tenga una enfermedad dado un resultado positivo en una prueba.
• Clasificación en machine learning: Modelos como Naïve Bayes usan esta regla para categorizar datos.
• Finanzas: Evaluación del riesgo de impago de un crédito basándose en el historial del cliente.
• Filtrado de spam: Probabilidad de que un correo sea spam dado el uso de ciertas palabras clave.

4. Ejemplo práctico

Un test de una enfermedad detecta correctamente a los enfermos el 98% de las veces $P(positivo|enfermo)=0.98$, pero también da falsos positivos el 5% de las veces $P(positivo|sano)=0.05$. Si la probabilidad de estar enfermo en la población es del 1% $P(enfermo)=0.01$, ¿cuál es la probabilidad de estar enfermo dado que el test es positivo?

Usamos la Regla de Bayes:

$P(enfermo|positivo)=\frac{P(positivo|enfermo)P(enfermo)}{P(positivo|enfermo)P(enfermo)+P(positivo|sano)P(sano)}$

Sustituyendo valores:

$P(enfermo|positivo)=\frac{(0.98)(0.01)}{(0.98)(0.01)+(0.05)(0.99)}=\frac{0.0098}{0.0098+0.0495}=0.165$

Esto significa que, a pesar de un test positivo, la probabilidad de estar enfermo es solo del 16.5%, debido a la baja prevalencia de la enfermedad y la tasa de falsos positivos.

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La Regla de Bayes es una herramienta poderosa para tomar decisiones bajo incertidumbre, permitiendo mejorar la precisión en inferencias basadas en evidencia. 🚀