Introducción a las Distribuciones Discretas

En probabilidad y estadística, una distribución de probabilidad discreta describe la probabilidad de ocurrencia de cada posible valor de una variable aleatoria discreta. Una variable aleatoria es discreta si puede tomar un número finito o numerable de valores, a diferencia de una variable continua, que puede asumir cualquier valor dentro de un intervalo.

Características de las Distribuciones Discretas

1. Conjunto de valores posibles: La variable aleatoria solo puede tomar valores específicos, generalmente números enteros. Ejemplos incluyen el número de llamadas recibidas en una central telefónica o la cantidad de veces que aparece una cara en un número fijo de lanzamientos de una moneda.
2. Función de Masa de Probabilidad (PMF, por sus siglas en inglés): Define la probabilidad de que la variable tome un valor específico. Se expresa como:$$P(X=x)=f(x)$$donde $f(x)$ es la función de masa de probabilidad. Esto significa que para cada posible valor de $X$, existe una probabilidad asignada.
3. Propiedades:
   • $0\le P(X=x)\le 1$ para todo $x$, es decir, las probabilidades siempre están dentro del rango válido.
   • La suma de todas las probabilidades es igual a 1:$$\sum P(X=x)=1$$Esto garantiza que el modelo representa una distribución de probabilidad válida.

Ejemplos de Distribuciones Discretas

A continuación, se describen algunas de las distribuciones de probabilidad discreta más utilizadas:

Distribución Bernoulli

Modela experimentos con dos posibles resultados: éxito (1) o fracaso (0). Se usa, por ejemplo, para modelar el resultado de un lanzamiento de moneda.

• PMF: $$ P(X = x) = p^x (1 - p)^{1 - x}, \quad x \in {0,1} $$
• Esperanza matemática: $E[X]=p$
• Varianza: $Var(X)=p(1-p)$

Distribución Binomial

Modela el número de éxitos en una cantidad fija de ensayos independientes de Bernoulli.

• PMF: $$ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}, \quad k = 0,1,2, \dots, n $$
• Esperanza matemática: $E[X]=np$
• Varianza: $Var(X)=np(1-p)$

Distribución de Poisson

Modela el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio fijo, asumiendo que ocurren de manera independiente y a una tasa promedio constante.

• PMF: $$ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, \quad k = 0,1,2,\dots $$
• Esperanza matemática: $E[X]=\lambda$
• Varianza: $Var(X)=\lambda$

Distribución Geométrica

Modela el número de intentos hasta el primer éxito en ensayos de Bernoulli independientes.

• PMF: $$ P(X = k) = (1 - p)^{k-1} p, \quad k = 1,2,3,\dots $$
• Esperanza matemática: $E[X]=\frac{1}{p}$
• Varianza: $Var(X)=\frac{1-p}{p^2}$

Aplicaciones de las Distribuciones Discretas

Las distribuciones discretas son fundamentales en la teoría de la probabilidad y tienen aplicaciones en diversas áreas como:

• Control de calidad: La distribución binomial se usa para modelar defectos en lotes de producción.
• Gestión de colas: La distribución de Poisson se aplica en la modelización de llegadas de clientes a un sistema de atención.
• Biología y medicina: La distribución geométrica puede utilizarse para modelar el número de intentos hasta que un tratamiento tiene éxito.

Estas distribuciones proporcionan herramientas esenciales para modelar fenómenos del mundo real y realizar inferencias estadísticas con base en datos discretos.